Страница 5 из 167

10 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ

OM

Я = PO" абсолютная величина которой дает расстояние точки AL

от иачала коордннат, измеренное данной единнцей длины, а знак

указывает, по какую сторону от начала коордннат расположена

точка.

Обратио, каждому чнслу соответствует одна едннственная

точка на прямой, Пусть, напрнмер, требуется построить точку А,

коорднната которой х==--3, т. е.

A

g 6 = peas вм OA=3-PQ. Towa A

определится однозначно, как конец от-

резка, отложенного вправо от начала

координат (рис. 2) и ныеющего длииу

в 3 единицы масштаба.

Если координата точки В равна — Из

[отметим это, поместив в скобках около

обозначення точки ее координату:

В {—1]>)}, то точку В мы построны, отло-

жив влево от начала координат поло»

вину выбранной единицы PQ «рис. 2). Построиы еще точку C(+V 2)

в данном случае ОС == V2 « PQ; чтобы получить отрезок указаи-

ной длины, строим квадрат на отрезке PQ, как на стороне: днаго

наль квадрата а = V2 -PQ; поэтому, отложив равный ей отрезок

а АНИ направленнн от начала координат, получим точку С

рис. .

Когда мы говорим, что дана точка, — это значит, что известна

ее координата; когда по тем или иным условиям требуется найти

точку, — это значит, что нужно вычислить ее координату.

Таким образом, установлено взаимно однозначное со-

ответствне между точками прямой и действительнымн числами,

Этим соответствием мы можем воспользоваться для графического

ОА: № As As ag _

в

е

Рис. 4.

изображения изменения какой-нибудь переменной величины. Пусть,

например, переменная величина х принимает последовательно зна

чения, равные членам геометрической прогрессии:

у, 7, 1, 2, 4, са ©

эти значення переменного изобразятся на прямой точками;

A, (+ 1), Ag (+ Jo), Аз G+). A, (+2), As (+4), Ag (+8), one

(рис. 4), H мы ясио видим, что переменная велнчина изменяется

скачками H что каждый раз она получает приращение, вдвое боль

шее предыдущего приращения. Ecau переменная величина H3IMee

>

NGJOKEHHE ТОЧКИ HA ПРЯМО i

нялась бы по закону изменения членов арифметической прогрес-

син, напрнмер: 1; 1,5; 2; 2,5; 3,..., то мы получили бы на прямой

точек, расположенных на равных расстояниях друг от друга

ис. 5).

® Во многих измерительных приборах мы судим об нзменении

изучаемой величины по положенню точки ина прямой. Например,

rf ‘ И А + $ + +

ыы 7 ыы т т Ц т ыы pe

Puc. 5.

© температуре мы суднм по положению уровня ртутного столба на

прямолинейной вертикальной шкале. В этом случае за начальную

точку принято положение уровня ртути при температуре таяния

льда, за положительное направление выбрано направление снизу

вверх, и единица длины равна '/100 подъема ртути при переходе

от penal таяния льда к температуре кипения воды (шкала

ельсия).

Бели изменить вачазо координат, направление на прямой или

единицу длины, то соответствне между точками прямой и чнслами

будет уже иное, — каждая точка получит новую координату.

1. Формулы преобразования координат

Если перенести начало координат в точку О’ (a), то между

старой координатой x любой точки прямой и новой координатой x’

той же точки будет нметь место соотношение:

x= x’ +a. ql)

Если принять за положительное направление на прямой напра»

вление, противоположное первоначальному, то координаты всех

точек изменят знак, не меняя своей абсолютной величины:

x=’, (2)

Если выбрать новую единицу длины в” = P’Q’, To коордниаты

Одной н той же точки будут обратно пропорциональны соответ-

ствующим единицам, т. е. ,

t= < x’. (3)

2. Основные формулы

Еслн даны две точки A н В свонми коордннатами x, и х», TO

величниа отрезка АВ вычнсляется по формуле:

АВ == Xq— Xp (4)

т. ©. величина отрезка равна разности координат его концов,


Перейти к файлу

Новинки сайта